1. درستی یا نادرستی هر یک از روابط زیر را استدلال کنید.
2. ثابت کنید اگر 
پیوسته باشد آنگاه برای هر زیرمجموعه 
3. فرض کنید 
ها توپولوژی روی X باشند و 
نسبت به هر پیوسته باشد. نشان دهید f نسبت به 
نیز پیوسته است.
4. ثابت کنید همیومورفیسم است اگروفقط اگر f باز و پیوسته باشد.
5. الف) ثابت کنید هر فضای متریک تفکیک پذیر شمارای اول است.
ب) آیا عکس این مطلب در حالت کلی برقرار است؟ ادعای خود را ثابت کنید.
6. فرض کنید 
شمارای اول باشد. در این صورت تابع پیوسته است اگروفقط اگر برای هر 
و هر دنباله 
، 
7. نشان دهید اگر 
ها هاسدورف باشند آنگاه 
هاسدورف است.
8. فرض کنید X یک فضای توپولوژیک و Y یک فضای توپولوژیک هاسدورف باشد. f و g توابع پیوسته از X به Y باشند. ثابت کنید 
در X بسته است و نتیجه بگیرید که اگر f و g روی یک مجموعه چگال از X بر هم منطبق باشند آنگاه f=g .
9. الف) نشان دهید هر فضای 
، 
است.
ب) نشان دهید هر فضای 
لزوماً نیست.
10. قضیه گسترش تیتزه را بیان کنید. یک طرف این قضیه را ثابت کنید.
