نام آزمون : پایان ترم ریاضی عمومی 1

تاریخ برگزاری : 27/10/1383

نام استاد : دکتر صابری نجفی

دانشگاه : فردوسی مشهد

دانشکده : علوم ریاضی و آمار

۱. اولا ً : اگر تابع g در نقطه ی a و تابع f در نقطه ی توابعی دیفرانسیل پذیر باشند، ثابت کنید تابع fog در نقطه ی a دیفرانسیل پذیر است و .

ثانیا ً : به کمک قضیه ی مقدار میانگین ، صحت نامساوی زیر را برای وقتی که و a و b اعداد حقیقی باشند، تحقیق کنید.

( توضیح : از این نامساوی و در درس آنالیز در اثبات قضیه ی هولدر استفاده می کنند. )

۲. اولا ً : قاعده ی هوپیتال را دقیقا ً بنویسید و آن را اثبات کنید.

ثانیا ً : در یک مدارالکتریکی بین ولتاژ V و شدت جریان I رابطه ی زیر برقرار است. اگر به وسیله ی اختلال در مدار ، در این صورت V چگونه خواهد شد؟

ثالثا ً : مطلوب است محاسبه ی مقدار حد زیر

۳. اولا ً : فرض می کنیم تابع f در بازه ی بسته ی پیوسته باشد و F یک تابع اولیه f در این بازه باشد. ثابت کنید

ثانیا ً : اگر باشد، با استفاده از تعریف انتگرال معین ، مطلوب است محاسبه ی حد زیر

ثالثا ً : اگر باشد ، مطلوب است محاسبه ی مقدار انتگرال زیر بر حسب A

۴. مقدار انتگرال های زیر را حساب کنید :

و

۵. سطح یک دریاچه ار بالا به شکل یک بیضی به معادله ی رؤیت می شود. مقاطع این دریاچه را به شکل مربع در نظر می گیریم و فرض می کنیم بر سطح زمین عمود بوده و با محور y ها موازی باشند. حجم این دریاچه را محاسبه کنید.

۶. مطلوب است محاسبه ی حجم V از جسم صلب دوّار که از دوران نمودار و ، حول محور y ها بدست آمده باشد.

۷. یک کابل فشار قوی بین دو برج آویزان است ، منحنی حاصل را یک منحنی زنجیره ای می گویند و معادله ی آن به صورت است. طول این کابل را بدست آورید. ( a>0 و b>0 )